(一)集总参数电路与分布参数电路

集总参数电路，又叫集中参数电路，目前学术界有两种定义方式：

第一种定义：

如果电路工作频率对应的电磁波的波长 $λ$ 远大于电路本身尺寸 $l$ ，则认为电路的各种参数“集中”于一点，元件是一个完整的不可分割的整体。电路中的电压，电流将不是距离的函数，则称该电路为集总参数电路，否则称为分布参数电路；

但是，该定义方式以电磁波波长 $λ$ 作为参考，不适合高压直流输电线路，所以该定义不完备。

第二种定义：

对于多端子设备，如果在任何时刻 $t$ ，流入任一端子的电流恒等于其它端子流出电流的代数和，且端子之间的电压为单值量，则称该元件为集总参数元件（简称集总元件），否则称为分布参数元件（简称分布元件）

（二）时变与时不变电路

设 ${u (t), i (t)}$ 为某二端元件的任意容许偶， $T$ 为任意常数。如果 ${u (t), i (t)}$ 也是该元件的容许偶，则称该元件为时不变的，否则称为时变的。该定义也可以扩展到 $n$ 端口网络。

例1：证明电感 $ψ = L (t) i (t)$ 为时变一端口元件，其中 $L (t)$ 不随 $u, i$ 变化。

证：设 ${u_{1} (t), i_{1} (t)}$ 为任意容许偶， $T$ 为任意实常数

令： $i_{2} (t) = i (t - T)$

则有： $ψ_{1} = L (t) i_{1} (t), ψ_{2} = L (t) i_{2} (t) = L (t) i_{1} (t - T)$

与： $i_{1} (t), i_{2} (t) = i_{1} (t - T)$ 对应的电压表达式分别如下所示：

u_{1} (t) = \frac{d ψ_{1}}{d t} = \frac{d L (t)}{d t} i_{1} (t) = L (t) \frac{d i_{1} (t)}{d t}

和 $u_{2} (t) = \frac{d ψ_{2}}{d t} = \frac{d L (t)}{d t} i_{2} (t) + L (t) \frac{d i_{2} (t)}{d t} = \frac{d L (t)}{d t} i_{1} (t - T) + L (t) \frac{d i_{1} (t - T)}{d t}$

显然： $u_{2} (t) \neq u_{1} (t - T)$

所以 ${u_{1} (t - T), i_{1} (t - T)}$ 不是容许偶

所以该元件为时变一端口元件。

如果 $L (t)$ 为与时间无关的常数 L(t) = L = const

设 $u_{1} (t), i_{1} (t)$ 为其任意容许偶， $T$ 为任意实常数

令 $i_{2} (t) = i_{1} (t - T)$ 则有： $ψ_{1} = L i_{1} (t), ψ_{2} = L i_{2} (t) = L i_{1} (t - T)$

则： $i_{1} (t), i_{2} (t) = i_{1} (t - T)$ 对应的电压表达式分别如下所示：

u_{1} (t) = \frac{d ψ_{1}}{d t} = L \frac{d i_{1} (t)}{d t}

与： $u_{2} (t) = \frac{d ψ_{2}}{d t} = L \frac{d i_{2} (t)}{d t} = L \frac{d i_{1} (t - T)}{d t} = u_{1} (t - T)$

所以， ${u_{1} (t - T), i_{1} (t - T)}$ 是容许偶，该元件为时不变一端口元件。

由以上例子可以看出，一般 $R, C, L$ 参数不随时间变化时，它们是时不变元件，若其参数是时间函数，则是时变元件。

例2：判断独立电压源 $u (t) = E \sin ω t$ 是否是时不变元件。

证明：设 ${u_{1} (t), i_{1} (t)}$ 是该元件任意一对容许偶， $T$ 是任意常数，

则： $u_{1} (t - T) = E \sin ω (t - T)$

其是一个滞后于电源 $u (t)$ 角度 $ω T$ 的另一个电压，原电压源不容许有这个电压，所以独立交流电压源是时变元件。

例3：试证明，图示电路为时变一端口，但为非时变（时不变）电路。

证：（1）由KVL得：端口电压、电流关系

u (t) = 5 i (t) + U_{m} \sin ω t

设 ${u_{1} (t), i_{1} (t)}$ 为任意容许偶，

令： $i_{2} (t) = i_{1} (t - T)$ ，其中 $T$ 为任一实常数

u_{2} (t) = 5 i_{2} (t) + U_{m} \sin ω t = 5 i_{1} (t - T) + U_{m} \sin ω t \neq u_{1} (t - T)

所以， ${u_{1} (t - T), u_{2} (t - T)}$ 不是容许偶，该网络是时变一端口网络。

（2）由任何一种电路分析方法均可得到，图示电路中任何一个电压或电流响应均可表示为：

f (t) = k u_{s} (t)

对图示电路 $k$ 为实常数，若激励源 $u_{s} (t)$ 有一个延迟，响应 $f (t)$ 也有一个同步的延迟，所以电路是时不变电路。

时变/时不变元件与端口，是讨论端口的 $u$ 与 $i$ 的函数关系。

时变/时不变电路，是讨论电路中响应跟激励（电源）的函数关系。

电源看成一种电路元件，直流是时不变，交流是时变元件，看成激励源，即使是时变电源，但其所在电路却是是不变的。

由独立源（作为激励可以是时变的）和时不变元件构成的电路称为时不变电路，否则称为时变电路。

（三）线性与非线性

设 ${u_{1}, i_{1}}$ 和 ${u_{2}, i_{2}}$ 为某二端元件的任意两组容许偶， $α, β$ 是任意两个实常数，如果有： ${α u_{1} + β u_{2}, α i_{1} + β i_{2}$ \}也是该元件的容许偶，则称该元件是线性的，否则称为非线性的。

该定义也可以扩展到多端口网络。

线性和非线性可表述为：齐次性和可加性

齐次性：如果 ${u_{1}, i_{1}}$ 为容许偶 ${α u_{1}, α i_{1}}$ 也为容许偶，

写成函数关系为： $f (α x) = α f (x)$

可加性：如果 ${u_{1}, i_{1}}, {u_{2}, i_{2}}$ 为容许偶 ${u_{1} + u_{2}, i_{1} + i_{2}}$ 也为容许偶。

写成函数关系式为： $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$

例1 已知电容元件 $C (t) = C_{0} + C_{1} \sin ω t$ ，判断该元件的性质。

证：该元件的表达式显含时间 $t$ ，所以该元件为时变元件。

q (t) = C (t) u (t), i (t) = \frac{d [C (t) u (t)]}{d t}

设 ${u_{1}, i_{1}}, {u_{2}, i_{2}}$ 为任意两组容许偶，则有

i_{1} (t) = \frac{d [C (t) u_{1} (t)]}{d t}, i_{2} = \frac{d [C (t) u_{2} (t)]}{d t}

设 $α, β$ 为任意两个实常数，则有：

$u_{3} (t) = α u_{1} (t) + β u_{2} (t)$ 。

进一步地： $i_{3} (t) = \frac{d [C (t) u_{3} (t)]}{d t} = \frac{d}{d t} {C (t) [α u_{1} (t) + β u_{2} (t)]}$

化简上述： $= α \frac{d [C (t) u_{1} (t)]}{d t} + β \frac{C (t) u_{2} (t)}{d t} = α i_{1} (t) + β i_{2} (t)$

所以 ${α u_{1} (t) + β u_{2} (t), α i_{1} (t), β i_{2} (t)}$ 也是容许偶。

所以该元件为线性时变元件。

例2：试验证图示电路为非线性一端口，但为线性电路。

证：（1）由KVL得 $u (t) = R i (t) + u_{s} (t)$

设 ${u (t), i (t)}$ 和 $u_{2} (t), i_{2} (t)$ 是任意两组容许偶。

则： $u_{1} (t) = R i_{1} (t) + u_{s} (t), u_{2} (t) = R i_{2} (t) + u_{s} (t)$

设 $α, β$ 是两个任意实常数, $i_{3} = α i_{1} (t) + β i_{2} (t)$

则有： $u_{3} (t) = R i_{3} (t) + u_{s} (t) = R (α i_{1} (t) + β i_{2} (t)) + u_{s} (t)$

化简得 $α (i_{1} (t) + u_{s} (t)) + β (i_{2} (t) + u_{s} (t) - (1 - α - β) \neq α u_{1} (t) + β u_{2} (t)$

所以： ${α u_{1} (t) + β u_{2} (t), α i_{1} (t) + β i_{2} (t)}$ 不是容许偶。

所以该元件为非线性一端口元件。

（2）由任何电路分析方法可得

电路中任何一个电压或电流响应可写成 $f (t) = k u_{s} (t)$

对图示电路， $k$ 为实常数，很显然响应 $f (t)$ 和激励源 $u_{s} (t)$ 为线性函数关系，满足齐次性和可加性，所以该电路是线性电路。

讨论线性/非线性原件与端口，是讨论端口的 $u, i$ 关系。

讨论线性/非线性电路，是讨论电路中响应与激励（电源）的关系。

电源看做一种电路元件，是非线性元件。看成激励源，即使是激励源，但所在电路却是线性的。

由独立源（作为激励是非线性的）和线性元件构成的电路是线性电路，否则称为非线性电路。

（四）网络的有源性和无源性

严格定义如下：

设 $u_{(} t), i_{(} t)$ 为 $n$ 端口网络的任意容许偶，对任意时刻 $t$ ，如果网络吸收的能量 $W (t) \geq 0$ ，则称该 $n$ 端口网络是无源的，否则该 $n$ 端口网络是有源的。

w (t) = \int_{- \infty}^{t} u^{T} (t) i (t) d t > 0, w (t) = \int_{t_{0}}^{t} u^{T} (t) i (t) + w_{0} (t_{0}) > 0

无源元件在任何时刻获得的总能量为正，或者说它释放的能量（比如：电容和电感）不超过它过去获得的能量。

有源与无源区分的标志是元件是否能持续地提供电能。

一般来说，参数正常的R,L,C元件均为无源元件，否则为有源元件。

例：对于线性时不变电感 $L$ ，其所吸收的能量为：

w (t) = \int_{- \infty}^{t} L \frac{d i (t)}{d t} i (t) d t = \int_{- \infty}^{t} L i (t) d i (t) d t = \frac{1}{2} L i^{2} (t)

在该表达式中，只要 $L \geq 0$ ，就能保证总能量 $W (t) \geq 0$

所以正值的电感是无源元件，负值的电感是有源元件。

例：已知某二端电感元件 $ψ = i^{3} - i$ 请判断该元件是无源元件还是有源元件

对于该非线性电感元件，假定其吸收的能量为 $w (t)$ ，则有：

w (t) = \int_{- \infty}^{t} u i d t = \int_{- \infty}^{t} (\frac{d ψ}{d t} \cdot i) d t = \int_{- \infty}^{t} (3 i^{3} - i) d i = (\frac{3}{4} i^{4} - \frac{1}{2} i^{2}) |_{i (- \infty)}^{i (t)}

因为 $i (- \infty) = 0$ ，所以 $w (t) = \frac{3}{4} i^{4} (t) - \frac{1}{2} i^{2} (t)$

当电流 $- \frac{\sqrt{6}}{3} < i < - \frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，有 $w (t) < 0$

所以该元件是有源元件。

时不变电阻网络的无源判断

对于线性时不变电阻网络，当且仅当任意的容许偶 ${u (t), i (t)}$ 和任意时刻 $t$ ，网络吸收的功率：

p (t) = u^{T} (t) i (t) \geq 0

则该电阻网络是无源的。

充分性证明：

电阻网络不存储能量，故有初始储能 $w (t_{0}) = 0$

因为 $p (t) = u^{T} (t) i (t) \geq 0$

则： $w (t) = w_{0} (t) + \int_{t_{0}}^{t} u^{T} (τ) i (τ) d τ \geq 0$

该元件为无源元件。

必要性证明：

假设存在时刻 $t_{1}$ ，则 $p (t_{1}) = u^{T} (t_{1}) i (t_{1}) < 0$

取直流信号 $u (t) = u (t_{1}), i (t) = i (t_{1})$ 。

为一组容许信号偶。

则有： $w (t) = \int_{t_{0}}^{t} u^{T} (t_{1}) i (t_{1}) d τ < 0$

则该网络为有源网络，与题干相矛盾，所以若电阻是无源的，则必有任何时刻其吸收功率 $p (t) \geq 0$

对于一般的元件和网络，判断其有源与无源特性时，需要判断其吸收的能量 $w (t)$ 是否一直大于等于0

而对于电阻元件和电阻性网络，判断其有源与无源特性时，可简化为判断功率 $p (t)$ 是否大于等于0

例：判断图示电路中受控源控制系统 $β$ 的取值对二端口网络有源无源性的影响。

解：该电路是一个纯电阻的二端口网络。

首先，列出电路方程

$u_{1} = r_{1} i_{1}, i_{2} = β i_{1} + \frac{1}{r_{2}} u_{2}$ 。

由方程写出H参数矩阵与Z参数矩阵如下：

H = [\begin{matrix} r_{1} & 0 \\ β & \frac{1}{r_{2}} \end{matrix}]

Z = [\begin{matrix} r_{1} & 0 \\ - β r_{2} & r 2 \end{matrix}]

写出该二端口网络吸收的总功率 $p (t)$ 表达式，并利用Z矩阵将电压u使用电流i表示：

p (t) = \sum_{k = 1}^{2} u_{k} i_{k} = u_{1} i_{1} + u_{2} i_{2} = i_{1} r_{1} i_{1} + (i_{2} - β i_{1}) r_{2} i_{2}

得： $[i_{1}, i 2] [\begin{matrix} r_{1} & - \frac{1}{2} β r_{2} \\ - \frac{1}{2} β r_{2} & r 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{1} \\ i_{2} \end{matrix}]$

该矩阵正定，则不管电流 $i_{1}, i_{2}$ 取何值，都有：

p = [i_{1}, i 2] [\begin{matrix} r_{1} & - \frac{1}{2} β r_{2} \\ - \frac{1}{2} β r_{2} & r 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{1} \\ i_{2} \end{matrix}] \geq 0

则该二端口电阻性网络无源的条件是：

r_{1} \geq 0, det | \begin{matrix} r_{1} & - \frac{1}{2} β r_{2} \\ - \frac{1}{2} β r_{2} & r 2 \end{matrix} | \geq 0

即： $β \leq 2 \sqrt{\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ 时无源。 $β \geq 2 \sqrt{\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ 时有源。

作者WellLee

(一)集总参数电路与分布参数电路

第一种定义：

第二种定义：

（二）时变与时不变电路

例1： 证明电感ψ=L(t)i(t)为时变一端口元件，其中L(t) 不随u,i 变化。

例2：判断独立电压源u(t)=Esin⁡ωt是否是时不变元件。

例3：试证明，图示电路为时变一端口，但为非时变（时不变）电路。

时变/时不变元件与端口，是讨论端口的u与i的函数关系。

时变/时不变电路，是讨论电路中响应跟激励（电源）的函数关系。

电源看成一种电路元件，直流是时不变，交流是时变元件，看成激励源，即使是时变电源，但其所在电路却是是不变的。

由独立源（作为激励可以是时变的）和时不变元件构成的电路称为时不变电路，否则称为时变电路。

（三）线性与非线性

线性和非线性可表述为：齐次性和可加性

例1 已知电容元件C(t)=C0+C1sin⁡ωt，判断该元件的性质。

例2： 试验证图示电路为非线性一端口，但为线性电路。

讨论线性/非线性原件与端口，是讨论端口的u,i关系。

讨论线性/非线性电路，是讨论电路中响应与激励（电源）的关系。

电源看做一种电路元件，是非线性元件。看成激励源，即使是激励源，但所在电路却是线性的。

由独立源（作为激励是非线性的）和线性元件构成的电路是线性电路，否则称为非线性电路。

（四）网络的有源性和无源性

例：对于线性时不变电感L，其所吸收的能量为：

例：已知某二端电感元件ψ=i3–i请判断该元件是无源元件还是有源元件

时不变电阻网络的无源判断

充分性证明：

必要性证明：

对于一般的元件和网络，判断其有源与无源特性时，需要判断其吸收的能量w(t)是否一直大于等于0

而对于电阻元件和电阻性网络，判断其有源与无源特性时，可简化为判断功率p(t)是否大于等于0

例：判断图示电路中受控源控制系统β的取值对二端口网络有源无源性的影响。

作者 WellLee

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