一、网络的基本表征量
网络的基本表征量可分为以下三类：
1.基本变量：电压：\(u(t)\)、电流：\(i(t)\)、电荷：\(q(t)\)、磁链\(\Psi(t)\)。
\(u=Ri\)表明：电压电流间存在通路（电阻不能为无穷大）；\(q=Cu\)表明：电压和电荷存在电容；\(\psi=Li\)表明：电流和磁链间存在电感；\(i=\frac{dq}{dt}\)表明：\(q\)和\(i\)间有不依赖元件产生的关系；\(u=\frac{d\psi}{dt}\)表明：电磁感应定理：\(e=N\frac{d\psi}{dt}\).
2.基本复合量：功率：\(P(t)=u(t)i(t)\) 和能量：\(W(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(t)d(t)\)
3.高阶基本变量：\(u^{(\alpha)}\)和\(i^{(\beta)}\) 其中\(\alpha、\beta \neq 0, -1\)
\(x^{(k)}=\frac{d^kx}{dt^k}, x^{(-k)}=\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^{t_{k}} \dots {\int_{-\infty}^{ t_{2} } }x(\tau_1)d\tau_1d(\tau_2) \dots d\tau_k (k>0)\) \(x^{(0)} = x\)(正数求导，复数求k次积分)
基本表征量之间存在着与网络元件无关的下述普遍关系
- \(u(t) = \frac{d\Psi(t)}{dt}, \Psi(t) = u^{(-1)}=\int_{-\infty}^tu(\tau) d\tau\)
- \(i(t) = \frac{dq(t)}{dt}, q(t) = i^{(-1)}=\int_{-\infty}^ti(\tau) d\tau\)
- \(p(t) = \frac{dW(t)}{dt}=u(t)i(t), W(t) =\int_{-\infty}^tp(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^t u(\tau)i(\tau)d\tau\)
0. 多口元件和多端元件
0.1 多口元件和多端元件的关系
当流入一个端子的电流恒等于流出另一个端子的电流时，这一对端子成为端口。二端元件\(\Leftrightarrow\)一口元件
例如：变压器的高压侧和低压侧分别是两个端口。
由此可见，端口元件有偶数个端子。
如果多端元件的端子数为偶数，并且两两能组成端口，则称该多端元件为多口元件。
（一）多端元件和多口元件可以互换吗？
如图所示，元件本身有\(n+1\)个端子，由KCL定律，通过端子的电流关系为：
若将\(i_0\)拆分成
\(i_1+ i_ 2+ \cdots + i_n\)则可得到一个\(n\)口元件
\(n\)口元件的端口电压、电流列向量表示为：
\(\textbf{u}=[u_1, u_2, \cdots, u_n]^{T}\)，
\(\textbf{i} = [i_1, i_2, \cdots, i_n]^{T}\)\(u,i\)取关联参考方向
（二）容许信号偶和赋定关系（区分元件）
可能存在元件端口的电压、电流向量随时间的变化或波形成为容许的电压-电流偶，简称容许信号偶，记作\({u(t), i(t)}\).
例如，\(\{3\cos\omega t , \cos\omega t\}\)是3\(\Omega\)电阻的容许信号偶。
\(\{\cos \omega t, \cos\omega t\}\)不是3\(\{\Omega\}\)电阻的容许信号偶。
注：容许信号偶也可是\(\{u(t), q(t)\}、\{u(t), \psi(t)\}、\{\psi(t),i(t)\}\)。
理论上一个端口元件的容许信号偶有无数个。
元件所有的容许信号偶的集合，称为该元件的赋定关系（本构关系）
当赋定关系只涉及电压电流关系时，称为电压电流关系，记作VCR，或称伏安关系，记作VAR。
赋定关系的范畴大于伏安关系。对二端元件，伏安关系一般指\(u-i\)平面内的一条曲线，而赋定关系是指所有容许信号偶的集合。
（三）基本二端代数元件（一口元件）
基本二端元件的定义为：
\((\eta, \theta)\in\{(u,i),(u,q),(i,\Psi),(q,\Psi)\}\)或\(f(\eta, \theta) = 0\)
例如线性电阻元件\(i=iR\)，电阻元件\(q=Cu\)。
基本二端元件与基本变量的关系如图：
基本二端元件的一般性分类：
\(\eta\)控元件：\(\theta = \theta(\eta)\)
\(\theta\)控元件：\(\eta = \eta(\theta)\)
单调元件：元件既是\(\eta\)控的，又是\(\theta\)控。
多值元件：元件既不是\(\eta\)控的，又不是\(\theta\)控。
关于“控”的理解：
3.1 电阻元件
定义：赋定关系为\( u \)和\( i \)之间的代数关系的元件。
\(R = \{(u, i):f_\mathbb{R}(u, i) = 0\} \)电阻元件可分为：
3.1.1 流控电阻
\( u = g(i) \)
短路是流控电阻
3.1.2 压控电阻
\( i = r(i) \)
开路是压控电阻
3.1.3 单调电阻
\( u = g(i), i = r(u)\)对任意两组不同容许信号偶\( (u_1, i_1) \)和\( (u_2, i_2) \)，恒有：
单增电阻：\((u_1 – u_2)(i_1 – i_2) \geq 0 \)
严格单调电阻：\((u_1 – u_2)(i_1 – i_2) > 0 \)
单减电阻：\((u_1 – u_2)(i_1 – i_2) \leq 0 \)
严格单减电阻：\((u_1 – u_2)(i_1 – i_2) < 0 \)
3.1.4 仿射电阻
伏安关系 (\(y = kx + b \))：
\(u=Ri+U_s (U_s \neq 0)\) 或 \( i = Gu + I_s (i_s \neq 0)\)
3.1.5 线性电阻
伏安关系(\(y = kx\)):
\( u=Ri\) 或 \(i = Gu\)
注意：流控电阻和压控电阻是一般非线性电阻的重要子类，单调电阻是压控电阻和流控电阻的一个子类，仿射电阻是单调电阻的一个特例，而线性电阻又是仿射电阻的一个特例。
3.1.5 多值电阻
3.2 零口器与非口器 （病态元件）
零口器两端电压电流均为零，即：
\(u = i = 0 \)或\(u^2 + i^2 = 0 \)
非扣器两端电压电流均为任意值，即：
\( u \) 为任意值，\( i \) 为任意值，或\( (u-x)(i-y)\) = 0
由外电路来决定。
网络中要出现病态元件，一般是成对出现，才有唯一解。
如图所示，零口器与非口器的串联相当于断路；零口器与非口器的并联相当于短路；零器与若干阻抗的任意串并联组合等同于一个零器；泛器与若干个阻抗的任意串并联组合等同于一个泛器；两对零泛器的星形联接等同于一对（四端）零泛器。（从定义出发进行推理）
由于零口器给出两个方程，因此，只要有一个零口器就会使方程数碧变量数目多一个；同样，由于非扣器不提供方程，因此，只要有一个非口器就会使方程数目碧变量数少一个。只有在零口器与非口器成对出现时，方程数才会与变量数相等。
3.3 独立电源
电压源即是流控型元件（视为阻值为0的电阻，\( u = u_s + 0i\)），又是荷控型元件（视为容值为无穷大的电容，\( u= u_s + \frac{1}{\infty}q\)）。电流源是压控型元件（视为阻值为无穷大的电阻，\(i = i_s + \frac{1}{\infty}u \)），又是链控型元件（视为电感值无穷大的电感，\( i = i_s + \frac{1}{\infty}\psi\)）
4.总结
\(基本二端代数元件\begin{cases}电阻元件：用u和i之间的代数关系表征，如u = Ri \\ 电容元件：用u和q之间的代数关系表征，如q=Cu\\电感元件：用\Psi和i之间的代数关系表征，如\Psi = Li\\忆阻元件：用\Psi和q之间的代数关系表征 \Psi = f(q) \end{cases} \)电阻元件不具有记忆特性，属于无记忆（或即时）元件；电容元件、电感元件和忆阻元件都具有记忆特性，属于记忆元件。
（四）高阶二端代数元件
4.1 基本二端代数元件的赋定关系
电阻元件 \( f_R(u, i) = 0\)
电容元件 \(f_C(u, i^{(-1)}) = 0 \)
电感元件 \( f_L(u^{(-1)}, i) = 0\)
忆阻元件 \( f_M(u^{(-1)}, i^{(-1)}) = 0\)
\( \begin{cases}f(u^{(\alpha)}, i^{(\beta)}) = 0, (\alpha, \beta = 0, -1) \\ \{u^{(\alpha)}, i^{(\beta)}\}, (\alpha, \beta = 0, -1) \end{cases} \)4.2 高阶二端元件代数元件的赋定关系
赋定关系为\( f(u^{(\alpha)}, i^{(\beta)}) = 0\)，称为\((\alpha, \beta) \)元件。
\( \alpha \)和\beta中至少有一个为正时称为高端二端代数元件。\( \alpha\)和\( \beta\)称为端口指数，均为整数。元件的阶数为\(|\alpha – \beta|_\mathrm{abs} \)。
若:\(|\alpha – \beta|_\mathrm{abs} \) = 0, 1。则对应基本二端代数元件； \(|\alpha – \beta|_\mathrm{abs} \geq 2 \) 则称为高端二端代数元件。
显然，电阻、电容、电感和忆阻元件分别为(0, 0)、(0, -1)、(-1, 0)和(-1, -1)阶元件；电阻和忆阻元件是零阶元件。
注意，在二端元件中的赋定关系中，\((\alpha, \beta) \)分别只能取一个值，不能够取多种不同的值。例如：\(f(u^{(2)}, i^{(-1)}) = 0 \)的二端元件是(2, -1)阶元件，但\(f(u^{(2)}, i^{(1)}, i^{(2)}) = 0\)的二端元件就不是高阶二端元件。
4.2.1 频变负阻元件
（1）D元件
\( i = D\frac{d^2}{dt^2} \)推导 => \( Z(j \omega)= \frac{U(j\omega)}{I(j\omega)} = -\frac{1}{\omega^2D}\)
（2） E元件
\( u = E\frac{d^2i}{dt^2}\)推导=> \(Z(j\omega) = \frac{U(j\omega)}{I(j\omega)} = -\omega^2E \)
(五)代数多口元件的分类
多口元件可以分为代数多口元件和动态多口元件。
代数多口元件可分为基本代数多口元件和高阶和混合代数多口元件。
5.1 基本代数多口元件
n口元件的赋定关系由 \( \eta\) 和 \( \theta \) 的代数关系表征，满足
\( F(\eta, \theta) = 0\)其中，\( (\eta, \theta) \in \{ (u,i), (u,q), (i, \Psi), (q, \Psi) \}\)，\( u, i, q, \Psi\)分别表示n维端口电压、电流、电荷和磁链的列向量。
5.2 高阶和混合多口元件
高阶和混合代数元件满足赋定关系：
\( F(\eta, \theta) = 0\)