Part 1.极限：

一、定义：

<一> 极限

① $\begin{aligned} (ϵ \to N) I f \forall ϵ > 0, \exists N > 0 当 n > N 时 \\ | a_{n} - A | < ϵ \\ \Rightarrow lim_{n \to \infty} a_{n} = A \end{aligned}$

② $\begin{aligned} (ϵ \to δ) I f \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - a | < δ 时, \\ | f (x) - A | < ϵ \\ \Rightarrow lim_{x \to \infty} f (x) = A \end{aligned}$

③ $\begin{aligned} (ϵ \to x) {\begin{cases} x \to - \infty \\ x \to + \infty \\ x \to \infty \end{cases} \\ I f \forall ϵ > 0, \exists X > 0, 当 x > X 时, \\ | f (x) - A | < ϵ \\ \Rightarrow lim_{x \to \infty} f (x) = A \end{aligned}$

<二> 无穷小

I f lim_{x \to a} α (x) = 0, 称 α (x) 当 x \to a 时 为 无 穷 小

设 α \to 0, β \to 0 {\begin{cases} I f lim \frac{β}{α} = 0 \to β = o (α) \\ I f lim \frac{β}{α} = k (k \neq 0, k \neq \infty) \to β = O (α) \\ I f lim \frac{β}{α} = 1 \to α \to β \end{cases}

二、性质

<一>一般性质：

1、（唯一性）

2、（保号性）

\begin{aligned} lim_{x \to a} f (x) = A {\begin{cases} > 0 \\ < 0 \end{cases} \to \\ \exists δ > 0, 当 0 < | x - a | < δ 时 \\ f (x) {\begin{cases} > 0 \\ < 0 \end{cases} \end{aligned}

3、（有界性）

\begin{aligned} ① lim_{n \to \infty} a_{n} = A \to \exists M > 0 使 | a_{n} | \leq M, （ 反 之 不 对 ） \\ ② lim_{x \to a} f (x) = A \to \exists δ > 0, M > 0 \\ 当 0 < | x - a | < δ 时, | f (x) | \leq M (局 部 有 界 性) \end{aligned}

<二>运算性质

1、 $lim f (x) = A, lim g (x) = B 则 {\begin{cases} ① lim [f (x) \pm g (x)] = A \pm B \\ ② lim [f (x) g (x)] = A B \\ ③ lim [f (x) / g (x)] = \frac{A}{B} (B \neq 0) \end{cases}$

2、 $\begin{aligned} lim_{u \to a} f (u) = A, u = φ (x) 且 φ (x) \neq a \\ 则 lim_{x \to x_{0}} φ (x) = a, 则 lim_{x \to x_{0}} f [φ (x)] = A \end{aligned}$

<三>存在性质

1、夹逼准则<迫敛定理> $\begin{array}{r} I f {\begin{cases} a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} \\ lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n} = A \end{cases} \Rightarrow lim_{n \to \infty} b_{n} = A \end{array}$

2、单调有界的数列必定存在极限

<四>无穷小性质

1、一般性质

① α \to 0, β \to 0 \Rightarrow {\begin{cases} α \pm β \to 0 \\ α β \to 0 \\ β α \to 0 \end{cases}

② | α | \leq M, β \to 0 \Rightarrow α β \to 0

③ lim f (x) = A \Leftrightarrow f (x) = A + α, α \to 0

2、等价性质

α \to α^{^{'}}

3、常见等价无穷小

\begin{aligned} x \to 0 \\ ① x \to s i n x \to t a n x \to a r c s i n x \to a r c t a n x \to e^{x} - 1 \to l n (1 + x) \\ ② (1 - c o s x) \to \frac{1}{2} x^{2} \\ ③ (1 + x)^{a} - 1 \to a x \end{aligned}

三、两个重要极限

\begin{aligned} ① lim_{Δ \to 0} \frac{s i n Δ}{Δ} = 1 \Leftrightarrow lim_{Δ \to 0} \frac{Δ}{s i n Δ} \\ ② lim_{Δ \to 0} (1 + Δ)^{\frac{1}{Δ}} = e \end{aligned}

Part 2.连续与间断

一、定义

1、连续：

\begin{aligned} I f lim_{x \to a} f (x) = f (a) \Leftrightarrow {\begin{cases} lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) \\ lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) \end{cases} \\ 称 f (x) 在 x = a 处 连 续 \end{aligned}

2、间断：

\begin{aligned} I f lim_{x \to a} f (x) \neq f (a) ， 称 f (x) 在 x = a 处 间 断 \\ 分 类 ： \\ 第 一 类 ： f (a - 0) ， f (a + 0) 存 在 ， {\begin{cases} f (a - 0) = f (a + 0) \to a 为 可 去 间 断 点 \\ f (a - 0) \neq f (a + 0) \to a 为 跳 跃 间 断 点 \end{cases} \\ 第 二 类 : f (a - 0), f (a + 0) 任 意 一 个 不 存 在 \to a 为 震 荡 间 断 点 \end{aligned}

二、 $f (x) \in [a, b] 四大性质$

【知识体系】极限

作者WellLee

Part 1.极限：

一、定义：

<一> 极限

<二> 无穷小

二、性质

<一>一般性质：

1、（唯一性）

2、（保号性）

3、（有界性）

<二>运算性质

<三>存在性质

1、夹逼准则<迫敛定理> $\begin{array}{r} I f {\begin{cases} a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} \\ lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n} = A \end{cases} \Rightarrow lim_{n \to \infty} b_{n} = A \end{array}$

2、单调有界的数列必定存在极限

<四>无穷小性质

1、一般性质

2、等价性质

3、常见等价无穷小

三、两个重要极限

Part 2.连续与间断

一、定义

1、连续：

2、间断：

二、 $f (x) \in [a, b] 四大性质$

<一>最大最小值定理

<二>一直连续性定理

<三>零点定理

<四>介值定理

作者 WellLee

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<一> 极限

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二、性质

<一>一般性质：

1、（唯一性）

2、（保号性）

3、（有界性）

<二>运算性质

<三>存在性质

1、夹逼准则<迫敛定理> If{an≤bn≤cnlimn→∞an=limn→∞cn=A⇒limn→∞bn=A

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1、一般性质

2、等价性质

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1、连续：

2、间断：

二、四大性质f(x)∈[a,b]四大性质

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