【概率论与数理统计】一维随机变量及其分布

【背景】

随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。

【基础定义】

1、随机变量：

$\begin{array}{rl}& \mathrm{在}\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{\Omega }\mathrm{中}，\mathrm{\forall }\omega \mathrm{\Omega }\\ & \mathrm{\exists }\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{的}X(\omega )\mathrm{与}\omega \mathrm{对}\mathrm{应}，\mathrm{则}\mathrm{称}X\mathrm{为}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}\end{array}$

2、分布函数：

$\begin{array}{rl}& X\mathrm{为}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}，\{X\le x\}=\{x\in (-\mathrm{\infty },x]\}\\ & F(x)=P\{X\le x\}-\mathrm{称}\mathrm{为}X\mathrm{的}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}$

2.1）性质(充要条件)：

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\mathrm{①}0\le F(x)\le 1;\\ \mathrm{②}\mathrm{不}\mathrm{减};\\ \mathrm{③}\mathrm{右}\mathrm{连}\mathrm{续}；\\ \mathrm{④}F(-\mathrm{\infty })=0;\end{array}\end{array}$

2.2) 注解:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{设}F(x)\mathrm{为}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{函}\mathrm{数}\\ & \mathrm{①}P\{a<x\le b\}=P\{x\le b\}–P\{x\le a\}=F(b)–F(a)\\ & \mathrm{②}P\{x<a\}=F(a-0)\\ & \mathrm{③}P\{x=a\}=P\{x\le a\}–P\{x<a\}=F(a)–F(a-0)\\ & \mathrm{④}P\{a<x<b\}=P\{x<b\}–P\{x\le a\}=F(b-0)–F(a)\end{array}$

3. 离散型随机变量

分布律：

4. 连续型随机变量

4.1) 定义

$\begin{array}{rl}& X-\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}，F(x)=P\{X\le x\}\\ & If\mathrm{\exists }f(x)\ge 0\mathrm{使}\mathrm{得}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(x)dx=F(x)\\ & \mathrm{称}X\mathrm{为}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{性}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}\\ & \mathrm{其}\mathrm{中}f(x)\mathrm{为}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{函}\mathrm{数}\\ & (f(x)\ge 0，{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)=1)\\ & F(x)\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{可}\mathrm{导}\end{array}$

【常见的随机变量】

一、常见离散型随机变量分布

1.二项分布

$\begin{array}{rl}& \mathrm{若}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}X\mathrm{的}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{律}\mathrm{为}：\\ & P\{x=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,\cdots ,n)\\ & \mathrm{则}\mathrm{称}X\mathrm{服}\mathrm{从}B(n,p)\end{array}$

2.泊松分布

$\begin{array}{rl}& \mathrm{若}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}X\mathrm{的}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{律}\mathrm{为}：\\ & P\{x=j\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }(\lambda >0,k=0,1,2\cdots n)\\ & \mathrm{则}\mathrm{称}X\mathrm{服}\mathrm{从}\pi (\lambda )\end{array}$

二、常见连续性随机变量分布

3.均匀分布

$\begin{array}{rl}& \mathrm{若}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}X\mathrm{的}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{为}：\\ & f(x)\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& a<x<b\\ 0& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}\\ & \mathrm{则}\mathrm{称}X\mathrm{服}\mathrm{从}\mathrm{于}U(a,b)\mathrm{其}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{如}\mathrm{下}：\\ & F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& a\le x<b\\ 1& x\ge b\end{array}\end{array}$

4.指数分布

$\begin{array}{rl}& \mathrm{若}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}X\mathrm{的}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{为}：\\ & f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}(\lambda >0)\\ & \mathrm{则}\mathrm{称}X\mathrm{服}\mathrm{从}\mathrm{于}E(\lambda )\mathrm{其}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{如}\mathrm{下}:\\ & F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ 1-e^{-\lambda x}& x\ge 0\end{array}\\ & \mathrm{注}\mathrm{解}：X\mathrm{服}\mathrm{从}\mathrm{于}E(\lambda )\mathrm{则}P\{x\le a+b\}=P\{x\le b\}\end{array}$

5.正态分布

$\begin{array}{rl}& \mathrm{若}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}X\mathrm{的}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{为}：\\ & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}\\ & \mathrm{则}\mathrm{称}X\mathrm{服}\mathrm{从}\mathrm{于}N(u,{\sigma }^2)\\ & \mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{地}，\mathrm{如}\mathrm{果}u=0,\sigma =1\mathrm{即}\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{x^2}{2}}\\ & \mathrm{称}X\mathrm{服}\mathrm{从}N(0,1)(\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{正}\mathrm{态}\mathrm{分}\mathrm{布})\\ & \mathrm{若}X\mathrm{服}\mathrm{从}\mathrm{于}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{正}\mathrm{态}\mathrm{分}\mathrm{布}，\mathrm{则}\\ & \mathrm{\Phi }(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\phi (x)dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ & \mathrm{注}\mathrm{解}:\\ & \mathrm{①}X\mathrm{服}\mathrm{从}\mathrm{正}\mathrm{态}\mathrm{分}\mathrm{布}，\mathrm{则}\\ & P\{x\le u\}=P\{x>u\}=\frac{1}{2}\\ & \mathrm{②}\mathrm{\Phi }(0)=\frac{1}{2},\mathrm{\Phi }(-a)=1–\mathrm{\Phi }(a)\\ & \mathrm{③}X\mathrm{服}\mathrm{从}\mathrm{正}\mathrm{态}\mathrm{分}\mathrm{布}\Rightarrow \frac{x-u}{\sigma }=N(0,1)\end{array}$