【背景】

特征是一个客体或一组客体特性的抽象结果。特征是用来描述概念的。任一客体或一组客体都具有众多特性，人们根据客体所共有的特性抽象出某一概念，该概念便成为了特征。而数字特征是对于数字的一种抽象方式，不同的抽象方式表现数字不同方面的数字特征（如，均值表现平均水平，方差表示离散程度）。从信息的角度来说，特征化（抽象）是压缩信息的一种方式。

为何会有数字特征？特征化是人们压缩数据的一种方式，它能够反映一些群体的某方面的特点。举个简单的例子，校长去某个班调查学生的学习水平，他不太可能去查看询问每个人的成绩（那样子是十分耗时的一件事情）。所以我们将班级的成绩信息进行压缩，压缩成均值，众数，标准差等，以此来为校长提供其所关心的平均水平，成绩差异程度等。

【数学期望（均值）】

<1>定义：

1、对于一元离散型随机变量：

已知分布律：

X	$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$
P	$p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$

\begin{aligned} 则 有 数 学 期 望 ： E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} \\ 若 Y = φ (x) 则 \\ E (Y) = \sum_{i = 1}^{n} φ (x_{i}) p_{i} \end{aligned}

2、对于一元连续性随机变量：

\begin{aligned} 已 知 X 服 从 于 f (x) \\ E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x \\ 若 Y = φ (x) 则 \\ E (Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} φ (x) f (x) d x \end{aligned}

3、对于二元离散型随机变量：

\begin{aligned} P {X = x_{i}, Y = y_{j}} = p_{i j} (i = 1, 2, \dots, m) (j = 1, 2, \dots, n) \\ Z = φ (X, Y) 则 \\ E (Z) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} φ (x_{i}, y_{i}) p_{i j} \end{aligned}

4、对于二元连续性随机变量：

<1>定义

\begin{aligned} 已 知 (X, Y) 服 从 于 f (x, y) \\ Z = φ (X, Y) \\ E (Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x \int_{- \infty}^{+ \infty} φ (x, y) f (x, y) d y \end{aligned}

<2>性质：

\begin{aligned} 1. E (c) = c \\ 2. E (k X) = k E (X) \\ 3. E (X + Y) = E (X) + E (Y) \\ 4. 若 X, Y 独 立 \to 则 E (X Y) = E (X) \cdot E (Y) \end{aligned}

【方差】

<1>定义：

\begin{aligned} D (X) = E (X - E X)^{2} \end{aligned}

<2>计算公式：

\begin{aligned} D (X) = E (X^{2}) - (E X)^{2} \end{aligned}

<3>性质：

\begin{aligned} 1. D (C) = 0 \\ 2. D (k X) = k^{2} D X \\ 若 X, Y 独 立 \to D (a X + b Y) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) \end{aligned}

<4>常见随机变量的数学期望与方差:

\begin{aligned} 1 、 X 服 从 于 B (n, p) : \\ P {X = k} = C_{n}^{k} P^{k} (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, 2, \dots, n) \\ E (X) = n p, D (X) = n p (1 - p) \\ 2. X 服 从 于 π (λ) (λ > 0) \\ P {X = k} = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots) \\ E (X) = λ, D (X) = λ \\ 3. X 服 从 于 G (p) (0 < p < 1) (几 何 分 布) \\ P {X = k} = p (1 - p)^{k - 1} (k = 1, 2, \dots) \\ E (X) = \frac{1}{p}, D (X) = \frac{1 - p}{p^{2}} \\ 4. X 服 从 于 U (A, B) \\ f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a} & a < x < b \\ 0 & 其 他 \end{cases} \\ E (X) = \frac{a + b}{2} . D (X) = \frac{(b - a)^{2}}{12} \\ 5. X 服 从 于 E (λ) (λ > 0) \\ f (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases} \\ F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{- λ x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \\ E (X) = \frac{1}{λ}, D (X) = \frac{1}{λ^{2}} \\ 6. X 服 从 于 N (0, 1) \\ f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} \\ E (X) = 0, D (X) = 1 \\ X 服 从 于 N (μ, σ) \\ f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ}} \\ E (X) = μ, D (X) = σ^{2} \end{aligned}

【协方差与相关系数】

<1>协方差

\begin{aligned} 1. 定 义 : \\ D (X) = E (X - E X)^{2} = E (X - E X) (Y - E Y) \\ 2. 计 算 公 式 : \\ C o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) \cdot E (Y) \\ 3. 性 质 : \\ ① C o v (X, X) = D (X) \\ ② C o v (X, Y) = C o v (Y, X) \\ ③ C o v (a X, b Y) = a b C o v (X, Y) \\ ④ C o v (X, k_{1} Y_{1} + \dots + k_{n} Y_{n}) = k 1 C o v (X_{1}, Y_{1}) + \dots + k_{n} C o v (X, Y_{n}) \\ ⑤ D (a X + b Y) = C o v (a X + B Y, a X + b Y) \\ = a^{2} C o v (X, X) + 2 a b C o v (X, Y) + b^{2} C o v (Y, Y) \\ = a^{2} D (X) + 2 a b C o v (X, Y) + b^{2} D (Y) \end{aligned}

<2>相关系数

\begin{aligned} 1. 定 义 \\ ρ_{X Y} = \frac{C o v (X, Y)}{\sqrt{D (X)} \sqrt{D (Y)}} \\ 2. 性 质 \\ ① | ρ_{X Y} | \leq 1 \\ ② 如 果 : ρ_{x y} = - 1 \to 称 X, Y 负 相 关 \\ ρ_{X Y} = - 1 \Leftrightarrow P {Y = a x + b} = 1 (a < 0) \\ ③ 如 果 ： ρ_{X Y} = 1 \to 称 X ， Y 正 相 关 \\ ρ_{X Y} = 1 \Leftrightarrow P {Y = a x + b} = 1 (a > 0) \\ ④ 如 果 ： ρ_{X Y} = 0 \to 称 X, Y 不 相 关 \\ ρ_{X Y} = 0 \Leftrightarrow C o v (X, Y) = 0 \Leftrightarrow E (X Y) = E (X) \cdot E (Y) \\ ⑤ X, Y 独 立 \Rightarrow E (X) \cdot E (Y) = E (X Y) \Rightarrow ρ_{X Y} = 0 \\ 即 X, Y 独 立 \Rightarrow X ， Y 不 相 关 \\ ⑥ (X, Y) 服 从 于 N (μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}^{2}, σ_{1}^{2}, ρ) 则 \\ X, Y 独 立 \Leftrightarrow X, Y 不 相 关 \Leftrightarrow ρ_{X Y} = 0 \end{aligned}

【参考文献】

对于概率论数字特征的理解

【概率论与数理统计】数字特征

作者WellLee

【背景】

【数学期望（均值）】

<1>定义：

1、对于一元离散型随机变量：

2、对于一元连续性随机变量：

3、对于二元离散型随机变量：

4、对于二元连续性随机变量：

<1>定义

<2>性质：

【方差】

<1>定义：

<2>计算公式：

<3>性质：

<4>常见随机变量的数学期望与方差:

【协方差与相关系数】

<1>协方差

<2>相关系数

【参考文献】

作者 WellLee

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【数学期望（均值）】

<1>定义：

1、对于一元离散型随机变量：

2、对于一元连续性随机变量：

3、对于二元离散型随机变量：

4、对于二元连续性随机变量：

<1>定义

<2>性质：

【方差】

<1>定义：

<2>计算公式：

<3>性质：

<4>常见随机变量的数学期望与方差:

【协方差与相关系数】

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<2>相关系数

【参考文献】

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