【背景】 在现实生活中，我们做具体的数理统计时，常已明确知道了总体X的分布，但却不能准确地得知分布的参数，也就是参数未知，因此，在实际应用中我们需要对参数做出估计。 以下介绍几种常用的参数估计方法。 【点估计法】 <1>矩估计法： [知识扩展] 总体的一阶原点矩总体的二阶原点矩样本的一阶原点矩样本的二阶原点矩E(X)→总体的一阶原点矩E(X2)→总体的二阶原点矩X¯=1n∑i=1nxi=A1→样本的一阶原点矩1n∑ni=1xi2=A2→样本的二阶原点矩1n∑ni=1xi→E(X)1n∑ni=1xi2→E(X2) 未知参数只含时①求出②令③得出的表达式总体含有①求出和②令（关于的关系式）case1:未知参数只含θ时:①求出E(X)②令E(X)=X¯③得出θ^的表达式case2:总体含有θ1θ2①求出E(X)和E(X2)②令{E(X)=X¯E(X2)=A2⇒{θ1^=θ2^=（关于θ1^,θ2^的关系式） <2>最大似然估计法 对于离散分布已知分布律。①②求利用对数运算规律，将乘除法转换为加减法，便于求导运算③令④得出的表达式总体服从于①②利用对数运算规律，将乘除法转换为加减法，便于求导运算③令④得出的表达式cases1.对于离散分布已知分布律。①X→(X1,X2,⋯,Xn)⇒(x1,x2,⋯,xn)②求L(θ)=P{x1=k1}⋯P{xn=kn}=P{X1=k1}⋯P{X=kn}(利用对数运算规律，将乘除法转换为加减法，便于求导运算)③令ddθ(lnL(θ))=⋯=0④得出θ^的表达式case2:总体X服从于f(x;θ)①X⇒(X1,⋯,Xn)⇒(x1,⋯,xn)②L(θ)=f(x1;θ)f(x2;θ)⋯f(xn;θ)(利用对数运算规律，将乘除法转换为加减法，便于求导运算)③令ddθ(lnL(θ))=⋯=0④得出θ^的表达式 【估计量的评价标准】 ①无偏性总体含未知参数为样本若为的估计量若，则称为的无偏估计量②有效性设皆为的无偏估计量即若称是比更有效的估计量①无偏性−X总体(含未知参数θ)(X1,X2,⋯,Xn)为样本若θ^=φ(X1,X2,⋯,Xn)为θ的估计量若E(θ^)=θ，则称θ^=φ(X1,X2,⋯,Xn)为θ的无偏估计量②有效性−设θ^=φ1(X1,X2,⋯,Xn)θ^=φ2(X1,X2,⋯,Xn)皆为θ的无偏估计量即E(φ1(X1,X2,⋯,Xn))=E(φ2(X1,X2,⋯,Xn))若D(φ1(X1,X2,⋯,Xn))<D(φ2(X1,X2,⋯,Xn))称θ^=φ1(X1,X2,⋯,Xn)是比θ^=φ2(X1,X2,⋯,Xn)更有效的估计量 【区间估计】 服从于①对估计置信估计）已知服从于查表的置信度为的置信区间为：未知服从于查表的置信度为的置信区间为②对估计已知服从于查表和的置信区间为：未知服从于和的置信区间为X服从于N(u,σ2)⇒(X1,X2,⋯,Xn)①对u估计(置信估计1−α）case1:σ已知1.U=X¯–μσn服从于N(0,1)2.查表±Zα23.P{−Zα2<X¯–μσn}=1−αμ的置信度为1−α的置信区间为：(X¯–σnZα2,X¯+σnZα2)case2:σ未知1.t=X¯–μsn服从于t(n−1)2.查表±tα2(n−1)3.P{−tα2(n−1)<X¯−μsn<tα2(n−1)}=1–αμ的置信度为1−α的置信区间为(X¯–sntα2(n−1),X¯+sntα2(n−1))②对σ2估计case1:μ已知1.1σ2∑ni=1(Xi–μ)2服从于x2(n)2.查表x1−α22(n)=?和xα22(n)=?3.P{x1−α22(n)<1σ2∑i=1n(xi−μ)2<xα22(n)}=1–ασ2的置信区间为：(∑i=1n(xi–μ)2xα22(n),∑i=1n(xi−μ)2x1−α22(n))case2:μ未知1.(n−1)s2σ2服从于x2(n−1)2.x1−α22(n−1)=?和xα22(n−1)=?3.P{x1–α22(n−1)<(n−1)s2σ2<xα22(n−1)}σ2的置信区间为((n−1)s2xα2(n−1),(n−1)s2x1−α2(n−1)) 文章导航 【概率论与数理统计】数字特征 【数据结构】线性表的C语言实现
