极限：

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

思维导图：

极 限 {\begin{cases} 数 列 极 限 {\begin{cases} 定 义 \\ 性 质 {\begin{cases} 唯 一 性 \\ 保 号 性 \\ 有 界 性 \end{cases} \end{cases} \\ 函 数 极 限 {\begin{cases} 自 变 量 趋 于 有 限 值 {\begin{cases} 定 义 \\ 性 质 {\begin{cases} 唯 一 性 \\ 保 号 性 \end{cases} \end{cases} \\ 自 变 量 趋 于 无 穷 大 {\begin{cases} 定 义 \\ 性 质 {\begin{cases} 唯 一 性 \\ 保 号 性 \end{cases} \end{cases} \end{cases} \\ 无 穷 大 / 无 穷 小 {\begin{cases} 无 穷 小 {\begin{cases} 定 义 \\ 性 质 \end{cases} \\ 无 穷 大 {\begin{cases} 定 义 \\ 性 质 \end{cases} \end{cases} \end{cases}

一、数列极限：

定义：

$\begin{aligned} 设 x_{n} 为一数列，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 ϵ （不论它多么小）， \\ 总存在正整数 N ，使得当 n > N 时, 不等式 \\ | x_{n} - a | < ϵ \\ 都成立，那么就称常数 A 是数列 x_{n} 的极限, 或者称数列 x_{n} 收敛于 A ，记为 \\ lim_{n \to \infty} x_{n} = A \\ 或 \\ x_{n} \to a (n \to \infty) \end{aligned}$

引论：

\begin{aligned} 设 数 列 a_{n}, 常 数 A \\ 若 \forall ϵ > 0, \exists N > 0, 当 n > N 时 \\ | a_{n} - A | < ϵ \\ 则 有 ： lim_{n \to \infty} | a_{n} | = A \end{aligned}

性质：

唯一性： $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} a_{n} = A ， lim_{n \to \infty} a_{n} = B \to A = B \end{array}$

利用反证法证明： $\begin{aligned} 设 A > B \\ 取 ϵ = \frac{a - b}{2} > 0 \\ 因为 lim_{n \to \infty} a_{n} = A 因此 N > 0, 当 n > N 1 时, | a_{n} - A | < \frac{A - B}{2} \\ \frac{A + B}{2} < a_{n} < \frac{3 A - B}{2} (*) \\ 而 lim_{n \to \infty} a_{n} = B 同理也有 \frac{3 B - A}{2} < a_{n} < \frac{A + B}{2} (* *) \\ 取 N = m a x {N 1, N 2}, 当 n > N 时, （ * ）（ * * ）都成立 \\ 但通过观察, 这样的 N 值并不存在, 故假设矛盾, 同理证得 A < B 同样矛盾。 \\ 故 A = B \end{aligned}$

保号性： $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} a_{n} = A {\begin{cases} A > 0 \\ A < 0 \end{cases} \to \exists N > 0 ，当 n > N 时， a_{n} {\begin{cases} a_{n} > 0 \\ a_{n} < 0 \end{cases} \end{array}$

证明： $\begin{aligned} ① 假设 A > 0 \\ 取 ϵ = \frac{A}{2} > 0 \\ 因为 : lim_{n \to \infty} a_{n} = A \\ 所以 : \exists N > 0 当 n > N 时, | a_{n} - A | < \frac{A}{2} \Rightarrow a_{n} > \frac{A}{2} \Rightarrow a_{n} > 0 \\ ② 假设 A < 0 \\ 取 ϵ = - \frac{A}{2} > 0 \\ 同理 \exists N > 0 | a_{n} - A | < - \frac{A}{2} \Rightarrow a_{n} < \frac{A}{2} \Rightarrow a_{n} < 0 \end{aligned}$

有界性： $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} a_{n} = A ，则 \exists M > 0, 使得 | a_{n} | \leq M \end{array}$

二、函数极限

1.自变量趋于有限值

Notes:

$x \to a \to x \neq a$
$x \to a {\begin{cases} x \to a^{-} \\ x \to a^{+} \end{cases}$
$0 < | x - a | < δ \Rightarrow x \subseteq (a - δ, a) \cup (a, a + δ)$

定义：

$\begin{aligned} y = f (x) 在 x = a ，去心领域内有定义 \\ 若 \forall ϵ > 0, \exists δ > 0 ，当 0 < | x - a | < δ 时 \\ | f (x) - A | < ϵ \\ 称 lim_{x \to a} f (x) = A \end{aligned}$

Notes:

$\begin{array}{r} lim_{x \to a} f (x) 与 f (a) 无关。例子： lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \end{array}$
$\begin{aligned} 若 \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 x \subseteq (a - δ, a) 时 \\ | f (x) - A | < ϵ \\ 称 A 为 f (x) 在 x = a 处的左极限，记 f (a - 0) = A \end{aligned}$
$\begin{aligned} 若 \forall ϵ > 0 ， \exists δ > 0 ，当 x \subseteq (a, a + δ) 时 \\ | f (x) - B | < ϵ \\ 称 B 为 f (x) 在 x = a 处的右极限，记 f (a + 0) = B \end{aligned}$
$\begin{array}{r} lim_{x \to a} f (x) \exists \Leftrightarrow f (a - 0) ， f (a + 0) 存在且相等 \end{array}$

2.自变量趋于无穷大

Notes:

$\begin{aligned} 若 \forall ϵ > 0 ， \exists X > 0 ，当 x > X 时 \\ 有 | f (x) - A | < ϵ \\ 则有： lim_{x \to + \infty} f (x) = A \end{aligned}$

$\begin{aligned} 若 \forall ϵ > 0 ， \exists X > 0 ，当 x < - X 时 \\ 有 | f (x) - A | < ϵ \\ 则有： lim_{x \to - \infty} f (x) = A \end{aligned}$

$\begin{aligned} 若 \forall ϵ > 0 ， \exists X > 0 ，当 | x | > X 时 \\ 有 | f (x) - A | < ϵ \\ 则有： lim_{x \to \infty} f (x) = A \end{aligned}$

性质：（两种情况都成立，无论是自变量趋于有限值还是无穷大）

唯一性：

$lim f (x) = A ， lim f (x) = B \Leftrightarrow A = B$

保号性：

$\begin{aligned} lim_{x \to a} f (x) = A {\begin{cases} A > 0 \\ A < 0 \end{cases} \\ 则 \exists δ > 0, 当 0 < | x - A | < δ 时 \\ f (x) {\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) < 0 \end{cases} \end{aligned}$
证明：
$\begin{aligned} 假设 A > 0 \\ 取 ϵ = \frac{A}{2} > 0, 当 0 < | x - A | < δ 时 \\ | f (x) - A | < \frac{A}{2} \Rightarrow f (x) > A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} > 0 \\ 同理可证当 A < 0 时的条件成立 \end{aligned}$

三、无穷小与无穷大

1、无穷小

定义

$\begin{array}{r} lim_{x \to a} α (x) = 0 称 α (x) 在当 x \to a 时为无穷小 \end{array}$

简单来说，以零为界限就称为无穷小。

Notes

零是无穷小，但无穷小不一定是零

非零函数是否无穷小与它的自变量趋势有关

例如： $\begin{aligned} α = 3 (x - 1)^{2} \\ 3 (x - 1)^{2} 当 x \to 1 时，它为无穷小 \\ 3 (x - 1)^{2} 当 x \to 2 时，它不为无穷小 \end{aligned}$

性质

① $α \to 0, β \to 0 \Rightarrow α \pm β \to 0$

证明: $\begin{aligned} 因为 lim_{x \to a} α = 0; lim_{x \to a} β = 0 \\ \forall ϵ > 0, \exists δ_{1} > 0, 当 0 < | x - a | < δ_{1} 时 \\ 有 : | α - 0 | < ϵ (*) \\ \exists δ_{2} > 0 当 0 < | x - a | < δ_{2} 时 \\ 有 : | β - 0 | < ϵ (* *) \\ 取 δ = m i n {δ_{1}, δ_{2}}, 当 0 < | x - a | < δ 时, \\ (* *) 和 (*) 都成立 \\ 当 0 < | x - a | < δ 时 \\ | (α \pm β) - 0 | \leq | α | + | β | = | α - 0 | + | β - 0 | < 2 ϵ \\ 即 | (α \pm β) - 0 | < 2 ϵ (本质上此处的 ϵ 为任意值) \\ 所以 : lim_{x \to a} (α \pm β) = 0 \end{aligned}$

② $α \to 0, β \to 0 \Rightarrow α β \to 0$

证明： $\begin{aligned} 设 lim_{x \to a} α = 0, lim_{x \to a} β = 0 \\ 取 ϵ_{0} = 1, \exists δ_{1} > 0, 当 0 < | x - a | < δ_{1} 时 \\ | α - 0 | < 1, 即 | α | < 1 (*) \\ \forall ϵ > 0, \exists δ_{2} > 0 当 0 < | x - a | < δ_{2} 时 \\ | β - 0 | < ϵ (* *) \\ 取 δ = m i n {δ_{1}, δ_{2}} 时 \\ (*) (* *) 成立 \\ | α β - 0 | = | α | | β | < ϵ \\ 所以 lim_{x \to a} α β = 0 \\ 故称 : 有限个无穷小相乘仍等于无穷小 \end{aligned}$

③ $| α | \leq M, β \to 0 \Rightarrow α β \to 0$

证明: $\begin{aligned} 因为 lim_{x \to a} β = 0 \\ \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - a | < ϵ 时 \\ | β | < ϵ \\ 当 0 < | x - a | < ϵ 时 \\ | α β - 0 | = | α | \cdot | β - 0 | = M ϵ \\ 所以 : lim_{x \to a} α β = 0 \\ 故称 : 有界函数与无穷小的函数仍等于无穷小 \end{aligned}$

④ $\begin{array}{r} lim_{x \to a} f (x) = A \Leftrightarrow f (x) = A + α, 其中 α \to 0 (x \to a) \end{array}$

证明: $\begin{aligned} " \Rightarrow " 必要性证明 \\ 设 lim_{x \to a} f (x) = A \\ \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - a | < ϵ 时 \\ | f (x) - a | < ϵ \\ 令 α = f (x) - A \Rightarrow f (x) = A + α \\ 因为 \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, 当 0 < | x - a | < δ 时 \\ | α | < ϵ 或称 | α - 0 | < ϵ \\ 所以 : lim_{x \to a} α = 0 \\ " \Leftarrow " 充分性证明 \\ 设 f (x) = A + α, α \to 0 (x \to a) \\ \forall ϵ, \exists δ > 0, 当 0 < | x - a | < δ 时 \\ | α - 0 | < ϵ \\ 即 | f (x) - A | < ϵ \\ 所以 : lim_{x \to a} f (x) = A \end{aligned}$

2、无穷大

关于无穷大的定义与性质可以用一句话概括：无穷大即无穷小的倒数，欲证明其定义与性质只需证明无穷小的倒数即可

四、参考文献

《高等数学》第七版-上册同济大学数学系编

作者WellLee

极限：

思维导图：

一、数列极限：

定义：

引论：

性质：

唯一性： ，limn→∞an=A，limn→∞an=B→A=B

保号性： ，当时，limn→∞an=A{A>0A<0→∃N>0，当n>N时，an{an>0an<0

有界性： ，则使得limn→∞an=A，则∃M>0,使得|an|≤M

二、函数极限

1.自变量趋于有限值

Notes:

定义：

Notes:

2.自变量趋于无穷大

Notes:

性质：（两种情况都成立，无论是自变量趋于有限值还是无穷大）

唯一性：

保号性：

三、无穷小与无穷大

1、无穷小

定义

Notes

性质

①α→0,β→0⇒α±β→0

②α→0,β→0⇒αβ→0

③|α|≤M,β→0⇒αβ→0

④ 其中limx→af(x)=A⇔f(x)=A+α,其中α→0(x→a)

2、无穷大

四、参考文献

作者 WellLee

相关文章

在 “【数学笔记】极限的定义与性质” 有 1 条评论

发表回复 取消回复

You missed

唯一性： $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} a_{n} = A ， lim_{n \to \infty} a_{n} = B \to A = B \end{array}$

保号性： $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} a_{n} = A {\begin{cases} A > 0 \\ A < 0 \end{cases} \to \exists N > 0 ，当 n > N 时， a_{n} {\begin{cases} a_{n} > 0 \\ a_{n} < 0 \end{cases} \end{array}$

有界性： $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} a_{n} = A ，则 \exists M > 0, 使得 | a_{n} | \leq M \end{array}$

① $α \to 0, β \to 0 \Rightarrow α \pm β \to 0$

② $α \to 0, β \to 0 \Rightarrow α β \to 0$

③ $| α | \leq M, β \to 0 \Rightarrow α β \to 0$

④ $\begin{array}{r} lim_{x \to a} f (x) = A \Leftrightarrow f (x) = A + α, 其中 α \to 0 (x \to a) \end{array}$

发表回复取消回复